Вобиденому сенсецентр тяжкості сприймають як точку, до якої можна докласти рівнодіючу всіх сил, що діють на тіло. Найпростіший приклад - це дитячі гойдалка вигляді звичайної дошки. Без усяких обчислення любої дитина підбере опору дошки так, щоб врівноважити (а може, й переважити) на качелявого чоловіка. У разі складних тіл і перерізів без точних розрахунків і відповідних формул не обійтися. Навіть якщо виходять громіздкі вирази, головне - не лякатися їх, а пам'ятати, що початково мова йде про практично елементарне завдання.
Розгляньте найпростіший важіль (див. рис 1), що знаходиться в положенні рівноваги. Розташуйте точку опори на горизонтальній осі з абсцисою kh₁₂ і помістіть на краях матеріальні точки мас m₁ і m. Вважайте їх координати осі 0х відомими і рівними kh₁ і х . Важіль знаходиться в положенні рівноваги, якщо моменти сил ваги P₁=m₁g і P = m g дорівнюють. Моментрівний твору сили на її плече, яке можна знайти як довжину перпендикуляра опущеного витончення додатку сили на vertikalkh=kh₁₂. Тому, відповідно до малюнка 1, m₁gℓ₁= m₂gℓ₂, ℓ₁=kh₁₂ - kh₁, ℓ₂=kh₂ - kh₁₂. Togdam₁ (kh₁₂ - kh₁) = m (х - kh₁₂). Вирішіть це рівняння і отримаєте kh₁₂=
(m₁x₁+m₂x₂ )/( m₁+m₂) .Для з'ясування ординати центру тяжкості y₁₂ застосуйте ті ж самі міркування і викладки, як і на кроці 1. Як і раніше, дотримуйтесь ілюстрації, наведеної на малюнку 1, де m₁gh₁= m gh , h₁=y₁₂ - y₁, h = y - y₁₂. Togdam₁ (y₁₂ - y₁) = m y₁₂. Результат - u₁₂= (m₁y₁+m₂y₂ )/( m₁+m₂) .Далеї вважайте, що замість системи з двох точок є
одна точка M₁₂ (х12, у12) загальної маси (m₁+m₂). До системи з двох точок додайте ще одну масу (m -) з координатами (х - х). При обчисленні слід як і раніше вважати, що маєте справу з двома точками, де друга з них має масу (m₁+m₂) і координати (х12, у12). Повторюючи вже для етихдвух точок всі дії кроків 1 і 2, прийдете до координат центру тяжкості системи трьох tochekkh₁₂₃= (m₁x₁+m₂x₂+m₃x₃ )/( m₁+m₂+m₃), u₁₂₃= (m₁y₁+m₂y₂+m₃y₃ )/( m₁+m₂+m₃). Далі додайте четверту, п'яту і так далі точки. Після багаторазового повторення все тієї ж процедури переконайтеся, що для системи n точок координати центру тяжкості обчислюються за формулою (див. рис. 2). Відзначте для себе той факт, що в процесі роботи прискорення вільного падіння g
скорочувалося. Тому координати центру мас і тяжкості збігаються. Уявіть собі, що в розглянутому перерізі розташована деяка D, поверхнева щільність якої = 1. Зверху і знизу фігура обмежена графіками кривих у = (х) і у = ^ (х), х є [a, b]. Розбийте ділянку D vertikalyamix=x₍i -1 ₎, x=x₍i ₎ (i = 1,2,..., n) на тонкі смужки, такі, що їх можна приблизно вважати прямокутниками з підставами. xi (див. рис. 3). При цьому серединвідрізування в xi вважайте, що збігається з абсцисом центру мас i = (1/2) [xi + x (i-1)]. Висоту прямокутника вважайте приблизно
рівною [ (^ i) -. Тоді ординату центру мас елементарної площі - i = (1/2) [ (. i) +. Через рівномірний розподіл щільності вважайте, що центр мас смужки збігається з її геометричним центром. Відповідна елементарна маса ^ mi = [ (. i) -. (. i)]. xi = [ (. i) -. (. i)]. xi зосереджена в точці (. i). Наступив момент зворотного переходу від маси, представленої в дискретній формі, до безперервної. Відповідно до формул обчислення координат (див. рис. 2) центру тяжкості утворюються люінтегральні суми, проілюстровані на малюнку 4а. Якщо буде показано граничний перехід під час 0, отримана відповіддю (рис. 4b). У відповіді маса відсутня. Рівність S = M слід розуміти лише як кількісна. Розмірності тут відмінні один від одного.
